{"id":2419,"date":"2017-08-24T17:32:53","date_gmt":"2017-08-24T17:32:53","guid":{"rendered":"https:\/\/www.kolabtree.com\/blog\/?p=2419"},"modified":"2019-01-02T11:52:17","modified_gmt":"2019-01-02T11:52:17","slug":"fishers-exact-test-statistical-relationships","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.kolabtree.com\/blog\/it\/fishers-exact-test-statistical-relationships\/","title":{"rendered":"Uso del test esatto di Fisher per le tabelle di contingenza di piccoli campioni"},"content":{"rendered":"

Questo post \u00e8 stato scritto da Paolo Ricci<\/a>, un esperto di Kolabtree. \u00c8 apparso originariamente nella sua rubrica su Giornalismo guidato dai dati<\/a>.<\/em><\/p>\n

Questo articolo descrive come il test esatto di Fisher pu\u00f2 essere usato per le tabelle di contingenza di piccoli campioni. Un problema comune in analisi dei dati<\/a> \u00e8 come determinare se c'\u00e8 una relazione statistica tra due variabili categoriche come il genere, la razza o la quota di voto per due candidati in un'elezione. Il modo pi\u00f9 semplice per visualizzare la relazione \u00e8 quello di rappresentare i conteggi per ogni combinazione di due variabili in una tabella di contingenza con le righe che rappresentano i livelli di una variabile e le colonne che rappresentano i livelli dell'altra variabile. Il test statistico pi\u00f9 comunemente usato per un'associazione tra le variabili di riga e di colonna \u00e8 il chi-quadro (\u03c72<\/sup>) test. L'esempio nella tabella seguente \u00e8 dato per illustrare il test.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
<\/td>\nVincitore democratico (% della colonna)<\/td>\nTotale<\/td>\n<\/tr>\n
Vittoria di Clinton<\/td>\nVittoria di Sanders<\/td>\n<\/tr>\n
Trump 1\u00b0<\/td>\n25 (86%)<\/td>\n12 (55%)<\/td>\n37<\/td>\n<\/tr>\n
Trump 2\u00b0<\/td>\n3 (11%)<\/td>\n8 (36%)<\/td>\n11<\/td>\n<\/tr>\n
Trump 3\u00b0<\/td>\n1 (3%)<\/td>\n2 (9%)<\/td>\n3<\/td>\n<\/tr>\n
Totale<\/td>\n29 (100%)<\/td>\n22 (100%)<\/td>\n51<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Le colonne della tabella qui sopra mostrano gli stati primari vinti da Hillary Clinton e da Bernie Sanders sul lato democratico e Donald Trump piazzato negli stessi stati primari sul lato repubblicano. Il numero totale di stati nella tabella \u00e8 51 perch\u00e9 \u00e8 incluso il Distretto di Columbia. Le percentuali della colonna mostrano che Trump ha vinto 86% degli stati primari vinti dalla Clinton mentre ha vinto 55% degli stati vinti da Sanders.<\/p>\n

Il test chi-quadro si basa sul calcolo dei valori attesi per ogni cella della tabella. Per esempio, il valore atteso (il valore per la cella che ci si aspetterebbe di vedere se non ci fosse alcuna relazione tra le variabili) per la cella per gli stati in cui Trump \u00e8 arrivato terzo nella parte repubblicana e per gli stati in cui Bernie Sanders ha vinto nella parte democratica sarebbe calcolato moltiplicando il totale della riga per gli stati in cui Trump \u00e8 arrivato terzo (3) per il totale della colonna per gli stati in cui Sanders ha vinto (22). Questo prodotto viene poi diviso per il numero totale di osservazioni (51). La formula per il valore atteso \u00e8 data da:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Ci\u00f2 significa che per questa cella ci si aspetterebbe un valore di 1,29 se gli stati primari in cui Trump \u00e8 arrivato terzo e Sanders ha vinto fossero completamente indipendenti l'uno dall'altro. Il valore osservato per questa cella \u00e8 2, suggerendo un conteggio pi\u00f9 alto per questa cella di quanto ci si aspetterebbe. I valori attesi verrebbero calcolati per ogni cella della tabella e la differenza tra i valori osservati e quelli attesi per ogni cella viene calcolata, squadrata, divisa per il valore atteso e sommata tra le celle della tabella secondo la formula:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Se il valore del chi-quadro supera il valore critico del chi-quadro per un dato grado di libert\u00e0 (trovato moltiplicando il numero di righe meno uno e il numero di colonne meno uno) e il valore p, si conclude che c'\u00e8 un'associazione tra le variabili.<\/p>\n

C'\u00e8 un problema con il test del chi-quadro. \u00c8 un'approssimazione della distribuzione dei conteggi nelle tabelle di contingenza. Se pi\u00f9 di 20% delle celle della tabella hanno un valore atteso inferiore a cinque, l'approssimazione del chi-quadrato non funziona per testare l'ipotesi di un'associazione tra la variabile di riga e la variabile di colonna (come nel caso della tabella sottostante). Entrambe le variabili nella tabella sono categoriche. I principali pacchetti statistici avvisano l'utente se questa assunzione viene violata. La violazione dell'ipotesi fa s\u00ec che il valore p osservato non sia corretto e pu\u00f2 portare a conclusioni errate sulla presenza o l'assenza di un'associazione. Esiste un'alternativa esatta al test chi-quadrato chiamata test esatto di Fisher.<\/p>\n

Il test esatto di Fisher si basa sulla distribuzione di probabilit\u00e0 ipergeometrica.<\/a><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Qui il Ri<\/sub>!<\/em> sono i fattoriali dei totali di riga (5!=5*4*3*2*1), Ci<\/sub>!<\/em> sono i fattoriali dei totali delle singole colonne, N!<\/em> \u00e8 il fattoriale del totale della tabella e l'aij<\/sub>sono i fattoriali per i valori delle singole celle. Il \u03a0ij <\/sub>\u00e8 il coefficiente del prodotto dei valori delle singole celle. Una formula del genere \u00e8 ancora pi\u00f9 intensiva dal punto di vista computazionale del test del chi-quadrato, specialmente per tabelle con molte righe e colonne. Questo \u00e8 il motivo per cui il test chi-quadrato era favorito in passato perch\u00e9 richiedeva troppa memoria per l'esecuzione da parte dei computer. Al giorno d'oggi \u00e8 meno problematico per i computer eseguire il test esatto di Fisher ed \u00e8 facile da eseguire nei principali pacchetti statistici (R, SAS, SPSS, STATA, ecc.).<\/p>\n

I comandi per condurre il test esatto di Fisher e il test chi-quadrato in R (un programma gratuito) possono essere visti qui sotto per la tabella in cima all'articolo con l'output corrispondente (giallo per il test esatto di Fisher, verde per il test chi-quadrato).<\/p>\n

\"\"<\/strong><\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

L'output del test esatto di Fisher mostra che c'\u00e8 una probabilit\u00e0 di 0,03653 di osservare queste frequenze nella tabella quando non c'\u00e8 associazione tra le righe e le colonne. L'output del test chi-quadro mostra una probabilit\u00e0 di 0,04217 per una relazione nella stessa tabella. Se usassimo il valore di .05 p come criterio di significativit\u00e0, troveremmo una relazione per entrambi i test in questo caso, anche se i valori di p differiscono. Gli stati che Hillary Clinton ha vinto nella stagione delle primarie hanno avuto pi\u00f9 probabilit\u00e0 di essere vinti da Donald Trump, mentre gli stati in cui Bernie Sanders ha vinto hanno avuto pi\u00f9 probabilit\u00e0 di far finire Trump 2e<\/sup> o 3rd<\/sup> In tabelle con dimensioni del campione ancora pi\u00f9 piccole, la differenza tra i p-valori pu\u00f2 essere ancora maggiore e portare a conclusioni radicalmente diverse.<\/p>\n

Come avvertimento, il valore p non dovrebbe essere usato come indicatore della forza dell'associazione tra variabili categoriche. O il test \u00e8 significativo o no. Il valore p \u00e8 sensibile alla dimensione del campione. Spesso l'odds ratio \u00e8 usato per stimare la dimensione dell'effetto, ma R lo calcola solo nella funzione fisher.test per tabelle con 2 colonne e 2 righe.<\/p>\n

Il test esatto di Fisher fornisce un criterio per decidere se le differenze nelle percentuali osservate tra due variabili categoriche in un campione sono significative o solo dovute al rumore casuale nei dati. Nell'esempio precedente, gli 86% di primarie vinte da Clinton e Trump sono significativamente diversi dai 55% di primarie vinte da Sanders e Trump. I giornalisti dovrebbero sempre stare attenti a fare questi giudizi solo guardando le percentuali o i conteggi osservati, a causa della soggettivit\u00e0 di tali decisioni. Le decisioni soggettive possono essere ulteriormente offuscate da nozioni preconcette sulle questioni relative ai dati.<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

This post is authored by Paul Ricci, a Kolabtree expert. It originally appeared in his column on Data Driven Journalism. This article outlines how Fisher’s exact test can be used for small sample contingency tables. A common problem in data analysis is how to determine if there is a statistical relationship between two categorical variables<\/p>\n

Per saperne di pi\u00f9<\/a><\/div>","protected":false},"author":31,"featured_media":2445,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[398,247,433],"tags":[],"acf":[],"yoast_head":"\nFisher's exact test for determining statistical relationships<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Using Fisher's exact test in R to determine the relationship between two variables in a contingency table - an example using the American elections.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.kolabtree.com\/blog\/it\/fishers-exact-test-statistical-relationships\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Using Fisher\u2019s Exact Test for Small Sample Contingency Tables\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Using Fisher's exact test in R to determine the relationship between two variables in a contingency table - 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