{"id":2419,"date":"2017-08-24T17:32:53","date_gmt":"2017-08-24T17:32:53","guid":{"rendered":"https:\/\/www.kolabtree.com\/blog\/?p=2419"},"modified":"2019-01-02T11:52:17","modified_gmt":"2019-01-02T11:52:17","slug":"fishers-exact-test-statistical-relationships","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.kolabtree.com\/blog\/de\/fishers-exact-test-statistical-relationships\/","title":{"rendered":"Verwendung des exakten Tests von Fisher f\u00fcr Kontingenztabellen mit kleinen Stichproben"},"content":{"rendered":"

Dieser Beitrag wurde verfasst von Paul Ricci<\/a>einem Kolabtree-Experten. Es erschien urspr\u00fcnglich in seiner Kolumne auf Datengesteuerter Journalismus<\/a>.<\/em><\/p>\n

Dieser Artikel beschreibt, wie der exakte Test von Fisher f\u00fcr Kontingenztabellen mit kleinen Stichproben verwendet werden kann. Ein h\u00e4ufiges Problem bei Datenanalyse<\/a> ist die Frage, wie man feststellt, ob es eine statistische Beziehung zwischen zwei kategorialen Variablen wie Geschlecht, Rasse oder dem Stimmenanteil f\u00fcr zwei Kandidaten bei einer Wahl gibt. Am einfachsten l\u00e4sst sich die Beziehung veranschaulichen, indem die Z\u00e4hlungen f\u00fcr jede Kombination von zwei Variablen in einer Kontingenztabelle dargestellt werden, wobei die Zeilen die Werte der einen Variable und die Spalten die Werte der anderen Variable darstellen. Der am h\u00e4ufigsten verwendete statistische Test f\u00fcr einen Zusammenhang zwischen den Zeilen- und Spaltenvariablen ist das Chi-Quadrat (\u03c72<\/sup>) Test. Das Beispiel in der nachstehenden Tabelle dient zur Veranschaulichung des Tests.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
<\/td>\nDemokratischer Gewinner (% der Spalte)<\/td>\nInsgesamt<\/td>\n<\/tr>\n
Clinton-Sieg<\/td>\nSanders gewinnt<\/td>\n<\/tr>\n
Trump 1.<\/td>\n25 (86%)<\/td>\n12 (55%)<\/td>\n37<\/td>\n<\/tr>\n
Trump 2.<\/td>\n3 (11%)<\/td>\n8 (36%)<\/td>\n11<\/td>\n<\/tr>\n
Trump 3.<\/td>\n1 (3%)<\/td>\n2 (9%)<\/td>\n3<\/td>\n<\/tr>\n
Insgesamt<\/td>\n29 (100%)<\/td>\n22 (100%)<\/td>\n51<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Die Spalten in der obigen Tabelle zeigen die Vorwahlen, die Hillary Clinton und Bernie Sanders auf Seiten der Demokraten gewonnen haben, und die Platzierungen von Donald Trump in denselben Vorwahlen auf Seiten der Republikaner. Die Gesamtzahl der Staaten in der Tabelle betr\u00e4gt 51, da der District of Columbia mit eingerechnet ist. Die Prozentzahlen in den Spalten zeigen, dass Trump 86% der Vorwahlstaaten gewonnen hat, die Clinton gewonnen hat, w\u00e4hrend er 55% der Staaten gewonnen hat, die Sanders gewonnen hat.<\/p>\n

Der Chi-Quadrat-Test basiert auf der Berechnung der erwarteten Werte f\u00fcr jede Zelle in der Tabelle. Der erwartete Wert (der Wert f\u00fcr die Zelle, den man erwarten w\u00fcrde, wenn es keine Beziehung zwischen den Variablen g\u00e4be) f\u00fcr die Zelle f\u00fcr die Staaten, in denen Trump auf republikanischer Seite den dritten Platz belegte, und f\u00fcr die Staaten, in denen Bernie Sanders auf demokratischer Seite gewann, w\u00fcrde beispielsweise berechnet, indem die Zeilensumme f\u00fcr den dritten Platz von Trump (3) mit der Spaltensumme f\u00fcr die Staaten, in denen Sanders gewann (22), multipliziert wird. Dieses Produkt wird dann durch die Gesamtzahl der Beobachtungen f\u00fcr (51) geteilt. Die Formel f\u00fcr den Erwartungswert lautet wie folgt:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Das bedeutet, dass f\u00fcr diese Zelle ein Wert von 1,29 zu erwarten w\u00e4re, wenn die Vorwahlstaaten, in denen Trump Dritter wurde und Sanders gewann, v\u00f6llig unabh\u00e4ngig voneinander w\u00e4ren. Der beobachtete Wert f\u00fcr diese Zelle ist 2, was darauf hindeutet, dass die Z\u00e4hlung f\u00fcr diese Zelle h\u00f6her ist als zu erwarten w\u00e4re. Die erwarteten Werte werden f\u00fcr jede Zelle in der Tabelle berechnet, und die Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten f\u00fcr jede Zelle wird berechnet, quadriert, durch den erwarteten Wert geteilt und gem\u00e4\u00df der Formel \u00fcber die Zellen in der Tabelle summiert:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Wenn der Wert f\u00fcr das Chi-Quadrat den kritischen Chi-Quadrat-Wert f\u00fcr einen gegebenen Freiheitsgrad (ermittelt durch Multiplikation der Anzahl der Zeilen minus eins und der Anzahl der Spalten minus eins) und den p-Wert \u00fcbersteigt, wird auf einen Zusammenhang zwischen den Variablen geschlossen.<\/p>\n

Es gibt ein Problem mit dem Chi-Quadrat-Test. Es handelt sich um eine Ann\u00e4herung an die Verteilung der Z\u00e4hlungen in Kontingenztabellen. Wenn mehr als 20% der Zellen in der Tabelle einen Erwartungswert von weniger als f\u00fcnf haben, funktioniert die Chi-Quadrat-Ann\u00e4herung nicht, um die Hypothese einer Assoziation zwischen der Zeilenvariablen und der Spaltenvariablen zu testen (wie es in der Tabelle unten der Fall ist). Beide Variablen in der Tabelle sind kategorisch. Die wichtigsten Statistikpakete warnen den Benutzer, wenn diese Annahme verletzt wird. Ein Versto\u00df gegen die Annahme f\u00fchrt dazu, dass der beobachtete p-Wert nicht korrekt ist und kann zu falschen Schlussfolgerungen hinsichtlich des Vorhandenseins oder Nichtvorhandenseins eines Zusammenhangs f\u00fchren. Es gibt eine exakte Alternative zum Chi-Quadrat-Test, den exakten Test von Fisher.<\/p>\n

Der exakte Test von Fisher basiert auf der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung.<\/a><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Hier wird die Ri<\/sub>!<\/em> sind die Fakult\u00e4ten der Zeilensummen (5!=5*4*3*2*1), Ci<\/sub>!<\/em> sind die Faktorielle der einzelnen Spaltensummen, N!<\/em> ist die Fakult\u00e4t der Gesamtsumme der Tabelle und die aij<\/sub>! sind die Faktoren f\u00fcr die einzelnen Zellenwerte. Die \u03a0ij <\/sub>ist der Produktkoeffizient der einzelnen Zellwerte. Eine solche Formel ist noch rechenintensiver als der Chi-Quadrat-Test, insbesondere bei Tabellen mit vielen Zeilen und Spalten. Aus diesem Grund wurde in der Vergangenheit der Chi-Quadrat-Test bevorzugt, weil er zu viel Speicherplatz f\u00fcr die Computer ben\u00f6tigte. Heutzutage ist die Durchf\u00fchrung des exakten Fisher-Tests f\u00fcr Computer weniger problematisch, und er l\u00e4sst sich in den wichtigsten Statistikpaketen (R, SAS, SPSS, STATA usw.) leicht ausf\u00fchren.<\/p>\n

Die Befehle zur Durchf\u00fchrung des exakten Tests nach Fisher und des Chi-Quadrat-Tests in R (einem kostenlosen Programm) sind unten f\u00fcr die Tabelle am Anfang des Artikels mit der entsprechenden Ausgabe zu sehen (gelb f\u00fcr den exakten Test nach Fisher, gr\u00fcn f\u00fcr den Chi-Quadrat-Test).<\/p>\n

\"\"<\/strong><\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Die Ausgabe f\u00fcr den exakten Test nach Fisher zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, diese Tabellenh\u00e4ufigkeiten zu beobachten, 0,03653 betr\u00e4gt, wenn es keinen Zusammenhang zwischen den Zeilen und Spalten gibt. Die Ausgabe des Chi-Quadrat-Tests zeigt eine Wahrscheinlichkeit von 0,04217 f\u00fcr eine Beziehung in derselben Tabelle. Wenn wir den p-Wert von 0,05 als Kriterium f\u00fcr die Signifikanz verwenden w\u00fcrden, w\u00fcrden wir in diesem Fall eine Beziehung f\u00fcr beide Tests finden, obwohl die p-Werte unterschiedlich sind. In den Staaten, die Hillary Clinton in der Vorwahlsaison gewonnen hat, war die Wahrscheinlichkeit gr\u00f6\u00dfer, dass Donald Trump gewinnt, w\u00e4hrend in den Staaten, in denen Bernie Sanders gewonnen hat, die Wahrscheinlichkeit gr\u00f6\u00dfer war, dass Trump den 2.und<\/sup> oder 3rd<\/sup> Bei Tabellen mit noch kleinerem Stichprobenumfang kann der Unterschied zwischen den p-Werten noch gr\u00f6\u00dfer sein, was zu v\u00f6llig anderen Schlussfolgerungen f\u00fchrt.<\/p>\n

Zur Warnung: Der p-Wert sollte nicht als Indikator f\u00fcr die St\u00e4rke des Zusammenhangs zwischen kategorialen Variablen verwendet werden. Entweder ist der Test signifikant oder nicht. Der p-Wert ist von der Stichprobengr\u00f6\u00dfe abh\u00e4ngig. H\u00e4ufig wird das Odds Ratio zur Sch\u00e4tzung der Effektgr\u00f6\u00dfe verwendet, aber R berechnet es in der Funktion fisher.test nur f\u00fcr Tabellen mit 2 Spalten und 2 Zeilen.<\/p>\n

Der exakte Test von Fisher bietet ein Kriterium, um zu entscheiden, ob die Unterschiede in den beobachteten Prozents\u00e4tzen zwischen zwei kategorialen Variablen in einer Stichprobe signifikant sind oder nur auf zuf\u00e4lliges Rauschen in den Daten zur\u00fcckzuf\u00fchren sind. Im obigen Beispiel sind die 86% der von Clinton und Trump gewonnenen Vorwahlen signifikant verschieden von den 55% der von Sanders und Trump gewonnenen Vorwahlen. Journalisten sollten immer vorsichtig sein, wenn sie nur die beobachteten Prozents\u00e4tze oder Ausz\u00e4hlungen betrachten, da solche Entscheidungen subjektiv sind. Subjektive Entscheidungen k\u00f6nnen durch vorgefasste Meinungen \u00fcber die mit den Daten zusammenh\u00e4ngenden Fragen weiter getr\u00fcbt werden.<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dieser Beitrag wurde von Paul Ricci, einem Kolabtree-Experten, verfasst. Er erschien urspr\u00fcnglich in seiner Kolumne auf Data Driven Journalism. Dieser Artikel beschreibt, wie der exakte Test von Fisher f\u00fcr Kontingenztabellen mit kleinen Stichproben verwendet werden kann. Ein h\u00e4ufiges Problem bei der Datenanalyse ist die Frage, wie man feststellen kann, ob es eine statistische Beziehung zwischen zwei kategorialen Variablen gibt<\/p>\n

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